从你的大世界路过

by admin on 2018年12月25日

必发365bifa0000,最小生成树:

 按照生成树的概念,具有n个顶点的连通图的生成树,有n个顶点和n-1条边。由此,构造最小生成树的守则有以下3条:

  1. 不得不动用图中的边构造最小生成树
  2. 当且仅当使用n-1条边来连接图中的n个顶点
  3. 不可以采用发生回路的边

内需小心的一些是,即使最小生成树一定存在,但其并不一定是唯一的。以下介绍求图的最小生成树的三个典型的算法,分别为克鲁斯Carl算法(kruskal)和普里姆算法(prim)

比赛截至将来,他再也并未出现过,固然在QQ上,有时跟她讲话他都略带鄙视。她很糟糕过,她不停地告知自己,他对自家又不佳,为啥要欣赏他?于是,在很长日子的康复下,她的生存又恢复生机了事先他没出现的外貌。

普里姆算法(Prim):

 为描述的造福,在介绍普里姆算法前,给出如下有关距离的定义:

  1. 两个极端之间的离开:是指将顶点u邻接到v的涉及边的权值,即为|u,v|。若五个极点之间无边相连,则那三个极端之间的偏离为无穷大

  2. 顶点到终点集合之间的距离:顶点u到巅峰集合V之间的相距是指顶点u到顶点集合V中保有终端之间的距离中的最小值,即为|u,V|=\(min|u,v| , v\in V\)

  3. 六个终端集合之间的相距:顶点集合U到巅峰集合V的离开是指顶点集合U到巅峰集合V中持有终端之间的偏离中的最小值,记为|U,V|=\(min|u,V| , u\in U\)

主干思想:假若G=(V,E)是一个拥有n个顶点的连通网,T=(V,TE)是网G的最小生成树。其中,V是R的顶点集,TE是T的边集,则最小生成树的布局过程如下:从U={u0},TE=\(\varnothing\)初始,必存在一条边(u,v),u\(\in U\),v\(\in
V-U\),使得|u,v|=|U,V-U|,将(u,v)插足集合TE中,同时将顶点v*加盟顶点集U中,直到U=V截止,此时,TE中必有n-1条边(最小生成树存在的场合),最小生成树T构造完毕。下图演示了利用Prim算法构造最小生成树的经过

必发365bifa0000 1

其示意代码如下:

连带代码

package all_in_tree;
/**
 * 该类用于演示Prim算法构造最小生成树的过程
 * @author 学徒
 *
 */
public class Prim
{
    //用于记录图中节点的数目
    private int nodeCount;
    //用于记录图的领接矩阵,其存储对应边之间的权值
    private int[][] graph;
    //用于记录其对应节点是否已加入集合U中,若加入了集合U中,则其值为true
    private boolean[] inU;
    //用于记录其生成的最小生成树的边的情况
    private Edge[] tree;
    //用于记录其下标所对的节点的编号相对于集合U的最小权值边的权值的情况
    private int[] min;
    //用于记录其下标所对的节点的最小权值边所对应的集合U中的节点的情况
    private int[] close;
    /**
     * 用于初始化
     * @param n 节点的数目
     */
    public Prim(int n)
    {
        this.nodeCount=n;
        this.graph=new int[n][n];
        //初始化的时候,将各点的权值初始化为最大值
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            for(int j=0;j<n;j++)
            {
                graph[i][j]=Integer.MAX_VALUE;
            }
        }
        this.inU=new boolean[n];
        this.tree=new Edge[n-1];
        this.min=new int[n];
        this.close=new int[n];
    }

    /**
     *用于为图添加一条边 
     * @param edge 边的封装类
     */
    public void addEdge(Edge edge)
    {
        int node1=edge.node1;
        int node2=edge.node2;
        int weight=edge.weight;
        graph[node1][node2]=weight;
        graph[node2][node1]=weight;
    }

    /**
     * 用于获取其图对应的最小生成树的结果
     * @return 由最小生成树组成的边的集合
     */
    public Edge[] getTree()
    {
        //用于将第一个节点加入到集合U中
        for(int i=1;i<nodeCount;i++)
        {
            min[i]=graph[0][i];
            close[i]=0;
        }
        inU[0]=true;
        //用于循环n-1次,每次循环添加一条边进最小生成树中
        for(int i=0;i<nodeCount-1;i++)
        {
            //用于记录找到的相对于集合U中的节点的最小权值的节点编号
            int node=0;
            //用于记录其相对于集合U的节点的最小的权值
            int mins=Integer.MAX_VALUE;
            //用于寻找其相对于集合U中最小权值的边
            for(int j=1;j<nodeCount;j++)
            {
                if(min[j]<mins&&!inU[j])
                {
                    mins=min[j];
                    node=j;
                }
            }
            //用于记录其边的情况
            tree[i]=new Edge(node,close[node],mins);
            //修改相关的状态
            inU[node]=true;
            //修改其相对于集合U的情况
            for(int j=1;j<nodeCount;j++)
            {
                if(!inU[j]&&graph[node][j]<min[j])
                {
                    min[j]=graph[node][j];
                    close[j]=node;
                }
            }
        }
        return tree;
    }
}

class Edge
{
    //节点的编号
    int node1;
    int node2;
    //边上的权值
    int weight;

    public Edge()
    {
    }
    public Edge(int node1,int node2,int weight)
    {
        this.node1=node1;
        this.node2=node2;
        this.weight=weight;
    }
}

/**
 * 测试用例所使用的类,该类的测试用例即为上图中中所示的Prim算法最小生成树的构造
 * 过程的示例图,且其节点编号从0开始,而不从1开始
 * @author 学徒
 *
 */
class Test
{
    public static void main(String[] args)
    {
        Prim k=new Prim(6);
        k.addEdge(new Edge(0,3,5));
        k.addEdge(new Edge(0,1,6));
        k.addEdge(new Edge(1,4,3));
        k.addEdge(new Edge(4,5,6));
        k.addEdge(new Edge(3,5,2));
        k.addEdge(new Edge(0,2,1));
        k.addEdge(new Edge(1,2,5));
        k.addEdge(new Edge(2,4,6));
        k.addEdge(new Edge(2,5,4));
        k.addEdge(new Edge(2,3,5));
        Edge[] tree=k.getTree();
        for(Edge e:tree)
        {
            System.out.println(e.node1+" --> "+e.node2+"  : "+e.weight);
        }
    }
}


运行结果如下:
2 --> 0  : 1
5 --> 2  : 4
3 --> 5  : 2
1 --> 2  : 5
4 --> 1  : 3

总结:kruskal算法的岁月复杂度与求解最小生成树的图中的边数有关,而prim算法的刻钟复杂度与求解最小生成树的图中的节点的多少有关。为此,Kruskal算法更加适用于稀疏图,而prim算法适用于稠密图。当e>=n^2时,kruskal算法比prim算法差,但当e=O(n^2)时,kruskal算法却比prim算法好得多。

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先是次相会是在加入初赛的时候。她比较骄傲从来如此,不把另外另外运动员放在眼里。她的口齿伶俐,讲话有心绪,当然,她当选了。他幽默好玩,到她的时候,先是让我们讲话大笑,然后就起来了他略显笨拙,但又可爱的上演。结果,他也入选了。她很心满意足,因为一切都在她的掌控之中,她依然那么的骄傲自大,第一步已经做到,接下去是准备阶段,出席决赛,然后拿奖,没错,好像一切都是这样的举手之劳。在他所擅长的园地,她就该如此。不过,这一遍他错了。她和她分到了一组。那天,说好要在体育场馆一起谈谈问题。她先来了,坐在这里悠闲地看着课外书,过了会儿,他也来了。那是率先次他抬起初认真的看着眼前的这么些男孩,五官精致,小麦色皮肤,笑起来很为难,给人一种沐浴阳光的清新感。他也感觉到到了女孩的目光,略显娇羞地躲避了她的视线,和她打着照顾。他和他坐在这里有一句没一句的聊着,直到所有的partner都来了。在探讨的过程中,她平日看着她合计,没悟出她精晓挺多的。她有时傻笑,因为他就是这般,时而幼稚的像个小孩儿,时而成熟的像个大人。听着partner的商讨,她很少发言,怎么初赛的时候,就没发现有这么多厉害的人物呢?她想。他们座谈了很久,我们很心满意足,但日益的都跑题了。

相关介绍:

 依照树的特点可知,连通图的生成树是图的极小连通子图,它含有图中的全体极端,但唯有结合一棵树的边;生成树又是图的偌大无回路子图,它的边集是关乎图中的所有终端而又尚未变异回路的边。

 一个有n个顶点的连通图的生成树只有n-1条边。若有n个顶点而简单n-1条边,则是非连通图(将其想成有n个顶点的一条链,则其为连通图的规范是至少有n-1条边);若多于n-1条边,则必然形成回路。值得注意的是,有n-1条边的生成子图,并不一定是生成树。此处,介绍一个概念。:指的是边带有权值的图。

 在一个网的有所生成树中,权值总和最小的生成树,称之为最小代价生成树,也称为最小生成树。

”我只是一个过路人,从你的社会风气经过。我不敢太多不舍,怕您看出自己难过。”

克鲁斯卡尔(Carl)(Kruskal)算法:

 克鲁斯Carl算法是按照边的权值递增的主意,依次找出权值最小的边建立的最小生成树,并且确定每回新增的边,不可能促成生成树有回路,直到找到n-1条边停止。

主干思维:设图G=(V,E)是一个持有n个顶点的连接无向网,T=(V,TE)是图的最小生成树,其中V是T的顶点集,TE是T的边集,则构造最小生成树的具体步骤如下:

  1. T的起来状态为T=(V,空集),即起来时,最小生成树T是图G的生成零图

  2. 将图G中的边依照权值从小到大的次第依次拔取,若选取的边未使生成树T形成回路,则投入TE中,否则放任,直至TE中蕴藏了n-1条边截至

下图演示克鲁斯卡尔(Carl)算法的构造最小生成树的历程:

必发365bifa0000 2

其示意代码如下:

连锁代码

package all_in_tree;

import java.util.Comparator;
import java.util.PriorityQueue;
import java.util.Queue;

import algorithm.PathCompressWeightQuick_Union;
import algorithm.UF;

/**
 * 该类用于演示克鲁斯卡尔算法的过程
 * @author 学徒
 *
 *由于每次添加一条边时,需要判断所添加的边是否会产生回路,而回路的产生,当且仅当边上的两个节点处在同一个连通
 *分支上,为此,可以使用Union-Find算法来判断边上的两个点是否处在同一个连通分支上
 *
 */
public class Kruskal
{
    //用于记录节点的数目
    private int nodeCount;
    //用于判断是否会形成回路
    private UF unionFind;
    //用优先级队列,每次最先出队的是其权值最小的边
    private Queue<Edge> q;
    //用于存储图的生成树
    private Edge[] tree;
    /**
     * 初始化一个图的最小生成树所需的数据结构
     * @param n 图的节点的数目
     */
    public Kruskal(int n)
    {
        this.nodeCount=n;
        tree=new Edge[n-1];
        unionFind=new PathCompressWeightQuick_Union(n);
        Comparator<Edge> cmp=new Comparator<Edge>()
        {
            @Override
            public int compare(Edge obj1,Edge obj2)
            {
                int obj1W=obj1.weight;
                int obj2W=obj2.weight;
                if(obj1W<obj2W)
                    return -1;
                else if(obj1W>obj2W)
                    return 1;
                else
                    return 0;
            }
        };
        q=new PriorityQueue<Edge>(11,cmp);
    }
    /**
     * 用于添加一条边
     * @param edge 所要进行添加的边
     */
    public void addEdge(Edge edge)
    {
        q.add(edge);
    }

    /**
     * 用于生成最小生成树
     * @return 最小生成树的边集合
     */
    public Edge[] getTree()
    {
        //用于记录加入图的最小生成树的边的数目
        int edgeCount=0;
        //用于得到最小生成树
        while(!q.isEmpty()&&edgeCount<this.nodeCount-1)
        {
            //每次取出权值最小的一条边
            Edge e=q.poll();
            //判断是否产生回路,当其不产生回路时,将其加入到最小生成树中
            int index1=unionFind.find(e.node1);
            int index2=unionFind.find(e.node2);
            if(index1!=index2)
            {
                tree[edgeCount++]=e;
                unionFind.union(e.node1, e.node2);
            }
        }
        return tree;
    }
}

/**
 * 测试用例所使用的类,该类的测试用例即为上图中中所示的Kruskal算法最小生成树的构造
 * 过程的示例图,且其节点编号从0开始,而不从1开始
 * @author 学徒
 *
 */
class Test
{
    public static void main(String[] args)
    {
        Kruskal k=new Kruskal(6);
        k.addEdge(new Edge(0,3,5));
        k.addEdge(new Edge(0,1,6));
        k.addEdge(new Edge(1,4,3));
        k.addEdge(new Edge(4,5,6));
        k.addEdge(new Edge(3,5,2));
        k.addEdge(new Edge(0,2,1));
        k.addEdge(new Edge(1,2,5));
        k.addEdge(new Edge(2,4,6));
        k.addEdge(new Edge(2,5,4));
        k.addEdge(new Edge(2,3,6));
        Edge[] tree=k.getTree();
        for(Edge e:tree)
        {
            System.out.println(e.node1+" --> "+e.node2+"  : "+e.weight);
        }
    }
}

/**
 * 图的边的数据结构
 * @author 学徒
 *
 */
class Edge
{
    //节点的编号
    int node1;
    int node2;
    //边上的权值
    int weight;

    public Edge()
    {
    }
    public Edge(int node1,int node2,int weight)
    {
        this.node1=node1;
        this.node2=node2;
        this.weight=weight;
    }
}


运行结果:
0 --> 2  : 1
3 --> 5  : 2
1 --> 4  : 3
2 --> 5  : 4
1 --> 2  : 5

ps:上述代码中所用到的Union-Find算法的有关代码及分析,请点击
K:Union-Find(并查集)算法
举行查看

分析
:该算法的时间复杂度为O(elge),即克鲁斯卡尔(Carl)算法的举办时间重点在于图的边数e,为此,该算法适用于针对稀疏图的操作

恐怕老天喜欢开玩笑。两回偶然,她又境遇了她。说了几句话之后,他就略显不耐烦的距离了,只留下他一个人在原地,看着她渐渐走远了。她爱好他的背影,喜欢她的行动形式,喜欢她的说话情势,喜欢他的处分,喜欢她的独身,喜欢她的所有,尤其是欣赏第一遍见他时的微笑,就像寒冷春天里的一缕阳光,很暖很暖。后来,他再也远非关联过她了。她的心头其实已经知道他不希罕他,可能她不喜欢她这类的女人吧。没错,在本场比赛中,她又输了,输得彻底。她每一天都握先导机生怕漏掉他的每一条信息,把她设为特别关爱,为了能首先个看到他的动态。她每日出去,害怕看见她牵着另一个娃儿的手从他面前经过。而他啊?或许在她的世界里,早就把他忘得一干二净,她或许只是一个过路人。

前几日看到一篇作品,是说贾乃亮和李小璐的,标题是这般的”爱一个人爱到卑微,有错吗?”爱一个人是从未有过错,但因为爱外人弄丢了上下一心,或许从一初阶就是错的。她很理性因为她知晓可以放纵自己很欣赏她,但也不可以弄丢自己。即便有时他会从睡梦中惊醒,以为是她发的音信,结果令自己失望,明知这是不能够了。当期望攒得充足多而从不落实的时候,就会化为失望。她想哭,却哭不出去,她或许爱过她,干脆利落。

以至竞赛这天,她表明有失常态了,输得一败涂地,她心头很难受。绝不只是输掉了较量,仿佛还输掉了另外什么事物。由于自己的准备不足贪玩,竞赛这天总是傻笑,不能全身心,一切的失误,就像影子一样笼罩着她。为何会这样,结局不是她想见到的。她擅长总结失误,一方面可能是由于轻敌,此外,还可能是因为他的出现啊,自己开班变得严酷,所有他出现的地点,女孩儿都不可以很好的发表,她觉得温馨可能喜欢上她了。

“我爱您不后悔,也强调故事结尾。”即便之后不会再见,也希望她径直能过得幸福。其实我们生命中的每一个人都不会无故的出现,他肯定会教给你点什么,然后又神速离开,就像没有出现过同样。

在这未来,女孩儿的记忆中就有了男孩。由于竞赛的因由,他们又要一并啄磨了,她略显兴奋,又足以看来他了。这种既期待又惶恐的痛感笼罩着女孩的心。这三次,他坐在她的边上,装作看课外书的她,略显不安总是动来动去,后来他意识可能男娃娃不爱好那样好动的女孩子吧。

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